הדפסה
גרסת PDF
סילבוס לקורס: תורת הקבוצות, 42006.1.1
שם המרצה: מורגנשטרן משה
סוג הקורס : שיעור
שנת הלימודים: תשפ"א ,   הקורס נלמד בסמסטר ב
מספר השעות ונקודות זכות: 2 ש"ש, 4 נ.ז.
שנת הלימוד בתכנית: א
דרישות קדם: מתמטיקה דיסקרטית
מטרות / תוצרי למידה: הסטודנט ייחשף למושגי היסוד בקבוצות אינסופיות. עוצמות ואריתמטיקה שלהן, עוצמות של קבוצות מוכרות, הרציונלים, הממשיים, ועוד. הסטודנט יכיר את מושג טיפס סדר, יבין מהו סודר, ומהי אינדוקציה על סודרים.
תיאור הקורס: הגדרת עצמה של קבוצה, התנסות בתופעות תמוהות בקבוצות ועוצמות אינסופיות. הגדרת עוצמה בת מניה, הרציונלים כבני מניה. עוצמת קבוצת החזקה, משפט קנטור. עוצמת הממשיים, קרן וקטעים ממשיים. פעולות שונות השומרות על עוצמת קבוצה, ופעולות שאינן כאלו. הגדרת סדר בין עוצמות, משפט קנטור ברנשטיין. הגדרת חיבור כפל וחזקה של עוצמות, נראה שההגדרה לא תלויה במייצגים, הוכחת תכונות שונות של פעולות אלה.
נגדיר סדר וסדר טוב, נראה את תכונות קבוצה סדורה היטב, נכיר מהו "טיפס סדר" ואיזה תנאים נדרשים כדי שטיפוסי סדר יהיו זהים. נכיר מהו סודר, ואיך נראה מערך הסודרים כולו, וגם נדבר בקצרה על אינדוקציה טרנספיניטית.
התוכן הניתן מידי שבוע, מטלות וחומרי קריאה:
מס'נושא, מטלות וחומר קריאה
1 שקילות בין קבוצות, הגדרת עוצמת קבוצה. תופעות בקבוצות אינסופיות. קבוצות בנות מניה.
2 הרציונליים כבני מניה, תכונות קבוצות בנות מניה. קיום קבוצות שאינן בנות מניה. הממשיים. עוצמת קבוצת החזקה, משפט קנטור.
3 הוכחה שהישר הממשי אינו בן מניה, שקילות עצמת קטע ממשי, קרן ממשית והישר כולו.
4 פעולות השומרות על עוצמה בת מניה, איחודים חיתוכים סופיים, מכפלות קרטזיות, מה קורה באיחודים וחיתוכים אינסופיים.
5 הגדרת עוצמה, סדר בין עוצמת, אי תלות במייצגים. משפט קנטור ברנשטיין.
6 חיבור עוצמות, אי תלות במייצגים. כפל עוצמות, הגדרת חזקה בעוצמות (כקבוצת פונקציות).
7 תכונות שונות של אריתמטיקה של עוצמות (כולל חזקה).
8   סכומים ומכפלות אינסופיות, הגדרות מדויקות ל"קבוצה סופית" ופעולות עליהן.
9 קבוצות סדורות, סדר טוב, תכונות סדר טוב.
10 קבוצות חסומות, תכונת החסם העליון, קבוצות צפופות אחת בשניה. איזומורפיזם בין קבוצות סדורות.
11 טיפוסי סדר ואיפיונם, משפטי קנטור .
12 קבוצות סדורות וסודרים.
13 סודרים ואינדוקציה טרנספיניטית – המשך.
חובות הסטודנט בקורס: . נוכחות רגילה 80%. מידי שבוע יינתן תרגיל תיאורטי, אותו יש להגיש בשבוע שלאחר מכן. התרגילים יבדקו ויינתן ציון על כל אחד מהם. יש חובת הגשה של לפחות 80% מהתרגילים ברמה סבירה. בסוף הקורס יערך מבחן עם חומר סגור.
אופן ההערכה - הרכב הציון
מרכיבאחוזציון מינימלי למרכיב
תרגילים 20%
מבחן 80% 55
רשימה ביבליוגרפית:
1 חוברות הקורס "תורת הקבוצות", הוצאת האוניברסיטה הפתוחה.
2. A Book of Set Theory, Charles C. Pinter, Dover Books on Mathematics.
3. Classic Set Theory For Guided Independent Study, D.C. Goldrei, CRC Press, 2017.